[재료역학] 단면의 성질 (도심, 1차 모멘트, 2차 모멘트, 2차 극 모멘트)

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재료역학의 다른 글 : 재료역학 INTRODUCTION

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1차 모멘트 First Moment

 

$x$축, $y$축에 대한 1차 모멘트는 $$Q_x=\int ydA$$ $$Q_y=\int xdA$$로 계산한다. 1차 모멘트는 좌표축과 미소 요소의 위치에 따라 그 값이 양수/음수일 수 있고, 차원은 $[mm^3]$이다.

 

도심 Centroid 

물질의 밀도가 균일할 때, 1차 모멘트를 면적으로 나누면 단면의 중심의 좌표가 된다. 

$$\overline{x}=\cfrac{Q_y}{A}=\cfrac{\int xdA}{\int dA} $$ $$\overline{y}=\cfrac{Q_x}{A}=\cfrac{\int ydA}{\int dA} $$

 

복잡한 형상의 centroid와 1차 모멘트는 여러 요소로 분리하여 각 요소의 centroid와 1차 모멘트의 합으로 구할 수 있다.

예제)

L형 부재

method 1) 세로 부재와 가로 부재로 나누어 구함

1번 부재 : $A_1=bt$$\quad\overline{x_1}=\frac{t}{2}$$\quad\overline{y_1}=\frac{b}{2}$

2번 부재 : $A_2=(c-t)t$$\quad\overline{x_2}=\frac{c-t}{2}+t$$\quad\overline{y_2}=\frac{t}{2}$

$Q_x=\frac{b^2 t}{2}+\frac{(c-t)t^2}{2}\quad$$Q_y=\frac{bt^2}{2}+\frac{(c^2-t^2)t}{2}$

 

method 2) 큰 직사각형에서 작은 직사각형을 뺌

1번 부재 : $A_1=bc$$\quad\overline{x_1}=\frac{c}{2}$$\quad\overline{y_1}=\frac{b}{2}$

2번 부재 : $A_2=-(b-t)(c-t)$$\quad\overline{x_2}=\frac{c-t}{2}+t$$\quad\overline{y_2}=\frac{b-t}{2}+t$

$Q_x=\frac{b^2c}{2}-\frac{(b-t)(c-t)(b+t)}{2}\quad$$Q_y=\frac{bc^2}{2}-\frac{(b-t)(c-t)(c+t)}{2}$

 

2차 모멘트 Second Moment, Moment of Inertia

$x$축, $y$축에 대한 2차 모멘트는 $$I_x=\int y^2dA$$ $$I_y=\int x^2dA$$로 계산한다.

2차 모멘트의 값은 항상 양수이고, 차원은 $[mm^4]$이다.

 

단면 계수 $S$는 2차 모멘트를 도심으로부터 단면의 끝단까지의 거리로 나눈 값으로, 벤딩과 관련된다. 차원은 $[mm^3]$이다.

 

회전반경 $r$은 2차 모멘트를 단면적으로 나눈 값의 제곱근으로, 좌굴과 관련된다. 차원은 $[mm]$이다.

 

2차 극 모멘트 Polar Moment of Inertia

2차 극 모멘트는 2차 모멘트와 다르게 원점에 대한 거리의 제곱의 합으로 계산한다. 차원은 $[mm^4]$이다.

$$I_P=\int r^2dA$$

$r^2=x^2+y^2$이므로 $I_P=\int r^2dA=\int (x^2+y^2)dA$$=\int x^2dA+\int y^2dA$, 즉

$$I_P=I_x+I_y$$이다.

평행 축 정리 Parallel-Axis Theorem

2차 모멘트의 값은 축을 어디로 지정하는지에 따라 값이 달라지는데, 평행하게 축을 이동시켰을 때 2차 모멘트의 값은 다음과 같다. 다음을 이용하면 단면의 도심축에 대한 2차 모멘트를 알고 있을 때, 임의의 평행 축에 대한 2차 모멘트의 값을 구할 수 있다.

도심을 원점으로 하는 xy좌표계와 임의의 XY좌표계

$$I_X=I_x + AY_c ^2$$ $$I_Y=I_y + AX_c ^2$$ 

증명)

$XY$좌표계에서 도심$Y_c$의 좌표는 $Y_c=\frac{\int_A YdA}{A} $이고,

$xy$좌표계에서 도심에 대한 1차 모멘트는 0이므로 $0=\frac{\int_A y dA}{A}$가 성립한다.

이때, $I_X=\int_A Y^2 dA = \int_A(Y_c+y)^2 dA$$=\int_AY_c^2dA+2Y_c \int_AydA+\int_Ay^2dA=AY_c^2+0+I_x$가 성립한다.

$I_Y$도 같은 방식으로 증명한다.

 

$XY$좌표계의 원점을 $O$, $xy$좌표계의 원점(도심)$C$라 할 때 2차 극 모멘트에 대한 평행 축 정리는 $I_P=I_x+I_y$이므로  $$I_{P_O}=I_{P_C}+ A(X_c^2+Y_c^2)=I_{P_C} + Ad^2$$이다. $d$는 원점과 도심 사이의 거리이다.

 

상승 모멘트 Product of Inertia

상승 모멘트는 면적에 대한 $xy$의 적분이다. $x$와 $y$의 부호에 따라 양수/0/음수가 될 수 있고, 차원은 $[mm^4]$이다.

$$I_{xy}=\int xydA$$

단면이 $x$축에 대해 대칭일 경우, 임의의 $(x,y)$에 대해 상쇄되는 $(-x,y)$가 존재하므로 $I_{xy}=0$이다. ($y$축에 대해 대칭일 때도 성립)

 

상승 모멘트에 대한 평행 축 정리는 다음과 같다. 

$$I_{XY}=I_x + AX_cY_c $$ 

증명)

$I_{XY}=\int (x+X_c)(y+Y_c)dA$$=\int xydA+Y_c\int xdA + X_c\int ydA+X_cY_c\int dA$이고,

$0=\cfrac{\int_A y dA}{A}$, $0=\cfrac{\int_A x dA}{A}$이므로 $I_{XY}=I_x + AX_cY_c $가 성립한다.

 

여러 단면에 적용

직사각형 단면

도심 :

$\overline{x}=\cfrac{\int \int xdx dy}{A}=\cfrac{\frac{b^2}{2}h}{bh}=\cfrac{b}{2}$

$\overline{y}=\cfrac{\int \int ydx dy}{A}=\cfrac{\frac{h^2}{2}b}{bh}=\cfrac{h}{2}$

$xy$축에 대한 2차 모멘트 :

$I_x=\int y^2dA=\int \int y^2 dy dx=\int y^2dy \int dx=\cfrac{bh^3}{3}$

$I_y=\int x^2dA=\int \int x^2 dy dx=\int dy \int x^2 dx=\cfrac{hb^3}{3}$
도심을 원점으로 하는 좌표축에 대한 2차 모멘트 (평행 축 정리) :

$I_{x_c}=I_x+A\overline{y}^2=\cfrac{bh^3}{3}+bh\cfrac{h^2}{4}=\cfrac{bh^3}{12}$

$I_{y_c}=I_y+A\overline{x}^2=\cfrac{hb^3}{3}+bh\cfrac{b^2}{4}=\cfrac{hb^3}{12}$

단면 계수 :

$S_x=\cfrac{I_{x_c}}{c}=\cfrac{\cfrac{bh^3}{12}}{\cfrac{h}{2}}=\cfrac{bh^2}{6}$

$S_y=\cfrac{I_{y_c}}{c}=\cfrac{\cfrac{hb^3}{12}}{\cfrac{b}{2}}=\cfrac{hb^2}{6}$

 

원형 단면

도심 : 대칭에 의해 $\overline{x}=0$ $\overline{y}=0$

2차 극 모멘트 : 

$I_P=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} r^2 r dr d\theta =\cfrac{\pi r^4}{2}$

2차 모멘트 :

대칭에 의해 $I_x=I_y$이고, $I_P=I_x+I_y$이므로

$I_x=I_y=\cfrac{\pi r^4}{4}$

 

반원 단면

도심 :

$\overline{x}=0$ (대칭)

$\overline{y}$는 두 가지 방법으로 구할 수 있다.

1. 극좌표 이용

$\overline{y}=\cfrac{\int y dA}{A}=\cfrac{\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r} r \sin\theta r dr d\theta}{\cfrac{\pi r^2}{2}}$$=\cfrac{ (-\cos \pi +\cos 0) \times \cfrac{r^3}{3} } { \cfrac{\pi r^2}{2} }$ $=  \cfrac{4r}{3\pi}$

2. 파푸스의 정리 이용

구의 부피는 반원의 면적을 도심을 기준으로 한 바퀴 회전시킨 회전체의 부피와 같다.

$\cfrac{4\pi r^3}{3} = 2 \pi \overline{y} \times \cfrac{\pi r^2}{2} $ $\qquad\overline{y}=\cfrac{4r}{3\pi}$