[재료역학] 응력과 변형률

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재료역학의 다른 글 : 재료역학 INTRODUCTION

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응력(Stress)

재료에 동일한 크기의 힘이 가해졌을 때, 물체의 단면적이 클 때와 작을 때 물체의 변형은 다를 것이다. 따라서 힘을 물체의 단면적으로 나누어 표준화한 값인 응력을 사용한다. 단면을 기준으로 힘이 가해지는 방향에 따라 수직 응력과 전단응력으로 구분할 수 있다.

• 수직 응력 $\sigma$ normal stress

단면에 수직으로 작용하는 힘이 면적에 걸쳐 균일하게 분포되었을 때, 단위면적당 힘을 수직 응력이라 한다.
$$\sigma=\frac{P}{A} [N/mm^2=MPa]$$
위 식은 응력이 단면에 균일하게 분포할 때만 성립하고, 그렇지 않을 때에는 평균 수직 응력을 나타낸다.
인장일 때 양$(+)$, 압축일 때 음$(-)$의 값을 갖는다.

• 전단 응력  $\tau$ shear stress

단면에 접선방향으로 작용하는 힘에 대한 응력을 전단 응력이라 한다.
$$\tau=\frac{V}{A} [N/mm^2=MPa]$$
전단 응력이 반시계 방향으로 작용할 때 양$(+)$의 값을 갖는다.

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• 응력 텐서 : 응력은 방향만을 가지는 물리량이 아니다. 예를 들어 $x$면에 $x$축 방향으로 가해지는 힘은 수직 응력, $y$면에 $x$축 방향으로 가해지는 힘은 전단 응력을 만들고, 둘의 합은 단순한 벡터 합이 아니다.

임의의 물체에 힘이 가해질 때 물체 내부의 한 미소 요소

음의 면은 양의 면과 크기가 같고 면에 대해 방향이 반대인 힘이 물체에 가해지므로, 9개의 요소로 물체에 가해지는 응력 상태를 나타낼 수 있다.

$$\sigma=\begin{bmatrix}\sigma_{xx} & \sigma_{xy}& \sigma_{xz}\\\sigma_{yx} & \sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz} \end{bmatrix} $$

$\sigma_{ij}$에서 $i$는 면의 방향, $j$는 응력의 방향이다.
$\sigma$의 대각 성분은 수직 응력, 나머지는 전단 응력이다.
$xy$평면에서 전단응력을 살펴보자.

힘 평형과 모멘트 평형에 의해 그림에 표시된 네 전단응력의 크기는 모두 같다.
즉, $\sigma_{xy}=\sigma_{yy}=\tau_{xy}$이고, 같은 방식으로 $\sigma_{yz}=\sigma_{zy}=\tau_{yz} \quad \sigma_{xz}=\sigma_{zx}=\tau_{zx}$이다.
따라서 6개의 요소
$$\sigma=\left\{ \sigma_{xx}\: \sigma_{yy}\: \sigma_{zz}\: \tau_{xy}\: \tau_{yz}\: \tau_{zx} \right\}^\top$$ 로 임의의 점의 3차원 응력 상태를 표시할 수 있다.

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축하중을 받는 부재의 경사면에서의 응력

인장 하중 $P$ 만을 받는 부재의 요소를 $\theta$만큼 회전시킨 단면에서는 응력이 인장 응력과 전단응력으로 분해된다. 이때 단면적은 $A$에서 $\cfrac{A} {\cos\theta}$로 늘어나고, 회전된 단면에 수직 한 방향의 힘은 $P\cos\theta$, 평행한 방향의 힘은 $-P\sin\theta$(전단 응력의 부호 규약을 고려하여)로 분해된다.

즉, $$\sigma_\theta=\cfrac{P\cos\theta}{A/\cos\theta}=\sigma_x \cos^2\theta$$ $$\tau_\theta=\cfrac{-P\sin\theta}{A/\cos\theta}=-\sigma_x \cos\theta\sin\theta$$ 이다.
이 공식은 재료의 탄성/비탄성 선형/비선형 거동과 상관없이 성립한다.

재료가 오직 한 방향으로 인장/압축을 받을 때 $\theta=0^{\circ}$인 요소에 최대 수직 응력 ,  $\theta=45^{\circ}$인 요소에 최대 전단응력이 가해진다.
이를 확장하여 임의의 응력 상태에 대해 좌표축을 회전시켜 경사면에서의 응력 요소를 구할 수 있다.

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변형률(Strain)

재료에 힘이 가해지면 재료의 길이가 변화한다. 재료의 변화된 길이가 같을지라도 재료의 원래 길이가 길 때와 짧을 때를 같게 볼 수 없다. 재료의 길이 변화를 재료의 원래 길이로 나누어 표준화한 변형률을 사용한다. 수직 응력은 수직 변형률을, 전단응력은 전단변형률을 만들어낸다.

• 수직변형률 $\varepsilon$ normal strain

단면에 수직 한 힘이 가해질 때 응력이 균일하게 분포되면 부재의 길이가 변화한다.
이때 변형률은 $$ \varepsilon=\cfrac{(L+\delta)-L}{L}=\cfrac{\delta}{L} [mm/mm]$$ 이다.
차원은 두 길이의 비이므로 무차원량이다. 인장의 경우에는 변형률이 양$(+)$, 압축의 경우에는 변형률이 음$(-)$이다.

• 전단 변형률 $\gamma$ shear strain

위에서 살펴본 바와 같이 평면에서 한 면의 전단응력이 정해지면 나머지 3개의 전단응력의 크기와 방향도 정해진다. 순수 전단 조건에서 전단응력을 받는 물체는 $xyz$방향으로 길이가 늘어나거나 줄어들지 않고 다이아몬드 형태로 형상이 변화한다.

양(+)의 전단변형률

이때 면 사이의 각이 변화하는데, 변화된 각의 크기를 전단 변형률이라 한다. 도 또는 라디안이므로 무차원량이다.
부호 규약은 두 양의 면 사이의 각이 줄어들면 양$(+)$, 늘어나면 음, 양의 면과 음의 면 사이의 각이 줄어들면 음$(+)$, 늘어나면 양, 두 음의 면 사이의 각이 줄어들면 양$(+)$, 늘어나면 음이다.

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• 변형률 텐서

$xy$평면에서 수직 변형률과 전단 변형률을 모두 그리면 아래 그림과 같다.

xy평면에서 변형률 요소

$$\varepsilon=\begin{bmatrix}\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy}& \varepsilon_{xz}\\\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy}&\varepsilon_{yz}\\\varepsilon_{zx}&\varepsilon_{zy}&\varepsilon_{zz} \end{bmatrix} $$
위 그림에서 $\varepsilon_{xy}+\varepsilon_{yx}=\gamma_{xy}$이고 $\varepsilon_{xy}=\varepsilon_{yx}$이면 $\varepsilon_{xy}=\varepsilon_{yx}=\frac{\gamma_{xy}}{2}$가 성립한다.
즉, 변형률도 6개의 요소
$$\varepsilon=\left\{ \varepsilon_{xx}\: \varepsilon_{yy}\: \varepsilon_{zz}\: \gamma_{xy}\: \gamma_{yz}\: \gamma_{zx} \right\}^\top$$ 로 임의의 점의 3차원 변형률 상태를 표시할 수 있다. 주의할 점은 전단 응력과 달리 전단 변형률은 $\varepsilon=\frac{\gamma}{2}$의 관계를 만족한다.

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